Что такое функция в математике. Что такое функция Какие функции являются математическими функциями

Менеджмент является важной частью современной социально-экономической системы. Он характеризуется воздействием субъекта в управлении на объект управления. Говоря простым языком, менеджмент — это управление.

Процессы, которые так или иначе неразрывно связаны с управлением, обычно происходят на предприятии на основе так называемого функционального распределения. Суть деятельности по управлению и обеспечивают функции менеджмента

Главные функции

Сегодня самыми главными функциями менеджмента называют планирование, организацию, мотивацию, координацию, контроль.

Раньше в России функции менеджмента были несколько иными и включали в себя такие понятия, как контроль, регулирование, стимулирование, координацию, организацию и планирование.

Также стоит выделить версию, представленную американскими учёными Майклом Месконом, Майклом Альбертом и Франклином Хедоури.

Они и вовсе выделили всего лишь четыре функции менеджмента: планирование, организацию, мотивацию, контроль.

Перечисленные функции управления так либо иначе связаны с процессами принятия решений и общением, то есть коммуникацией.

Сегодня же чаще всего рассматривается вариант наличия ещё более широкого перечня функций менеджмента.

1. Первое, что необходимо сделать — это поставить цель. (Для этого необходимо ответить на вопрос «Чего я хочу?»).
2. Следующий этап — это планирование. Планирование заключается в поэтапном описании шагов, которые необходимы для достижения той либо иной цели.
3. Также не следует забывать и про маркетинг. Для этого необходимо ответить на такие вопросы, как «Что у меня есть и что из этого мне может помочь или помешать на пути достижения цели?»
4. Также следует решить вопрос и с организацией. Для этого следует ответить на вопросы о том, «Где и что располагается и как всё это лучше всего связать?»
5. Новая информация. («Какими достижениями можно воспользоваться для того, чтобы достичь цель как можно скорее?»)
6. Вопрос стимулирования в некоторых случаях и вовсе играет решающее значение. Для того, чтобы ответить на него, следует поставить вопрос «Что необходимо сделать для того, чтобы исполнители в точности выполнили все предписанные мною требования?». Однако вам следует помнить, что стимулирование — это не мотивация, так как мотивация представляет собой целый набор различных внутренних мотивов для отдельно взятого человека.
7. Нельзя забывать и про вопрос координации. Координация представляет собой результаты отдельно взятых исполнителей, которые должны дать тот либо иной общий результат. Также желательно отсутствии каких-либо дополнительных доработок.
8. Не следует забывать и про вопрос контроля. «Всё ли идёт именно так, как и запланировано?»).
9. Анализ и учёт. (Вопросы: «Что получилось в итоге?» + «Была ли достигнута поставленная цель?» + «Что помешало, а что наоборот — помогло?» и многие другие).

Самая главная функция в менеджменте — это функция планирования.

В чём же она заключается и для чего нужна? Реализуя эту функцию, предприниматель на основе полученного анализа может сформулировать те либо иные планы или же программы. Сам же процесс планирования способен позволить сформулировать цель намного более чётко.

После этого можно попытаться воспользоваться полученными результатами для обеспечения более чёткой координации усилий всех структурных подразделений своей компании. Это означает, что планирование — это один из непрерывных процессов по изучению новых возможностей и методов по совершенствованию деятельности фирмы за счёт того, что руководитель способен выявить целый ряд новых возможностей и фактор её деятельности.

Из этого следует, что планы организации не будут носить директивный характер. Более того, они будут меняться лишь в соответствии с той либо иной ситуацией.

Функция организации необходима для формирования структуры фирмы. Кроме этого, она нужна в целях обеспечения её всем необходимым, например, финансовыми средствами. В том плане, который составляет организация, имеется создание условий для того, чтобы достичь запланированную цель.

Функция мотивации позволяет активизировать сотрудников компании для того, чтобы они работали лучше и эффективнее. Это позволит повысить продуктивность всей компании. Самый простой метод для мотивации сотрудников — это предоставление специальных денежных бонусов за достижение определённых целей.

Функция контроля необходима для достижения целей компании. Важно понимать, что контроль должен быть всеобъемлющим, иначе пользы от него практически не будет.

Функция координации заключается в установлении взаимодействия между различными структурами организация для повышения эффективности работы всей компании.

Определение
Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции (или областью значений ).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Само отображение f называется характеристикой функции .

Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y - это элемент из множества значений функции, а - это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции f называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией : .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и - это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и - это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности - это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений - вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения - это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов - “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция - это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция - это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m ) функции f , на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу - значением 0 :
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей) , если для всех таких что выполняется неравенство:
.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус : . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1) .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2) .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n) ,
где n - целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией . А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией .

Это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции - это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция - это функция.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Функция - одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей ее области - математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которой числовые функции служат средством количественного описания различных зависимостей между величинами.

В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требует от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществлять в начальной школе пропедевтику понятия функции.

44. Понятие функции. Способы задания функций

Выполним два задания для младших школьников.

1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.

2) Заполни таблицу.

С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?

Прежде всего, в каждом задании есть два числовых множества, между элементами которых устанавливается соответствие. В первом - это множества {1, 3, 5, 7} и {2, 6, 10, 14}, а во втором - это множество значений вычитаемого (0,1,2, 3,4, 5} и множество значений разности {5, 4, 3, 2, 1, 0}. В чем сходство устанавливаемых между этими множествами соответствий? И в первом, и во втором задании каждому числу из первого множества сопоставляется единственное число из второго. В математике такие соответствия называют функциями. В общем виде понятие числовой функции определяют так:

Определение. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f - функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу х из множества X, часто обозначают f(x) и пишут у= f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(х) для всех х из множества X называют областью значений функции f.

В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве X = {1, 3, 5, 7} - это ее область определения. А область значений этой функции есть множество {2,6,10,14}.

Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.

Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, формулы у = 2х-3, у = х 2 , у = 3х, где х - действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению х можно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение у.

Заметим, что с помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения. Например, функция у = 2х-3, где х R, отлична от функции у = 2х-3, где х N. Действительно, при х = -5 значение первой функции равно -13, а значение второй при х = -5 не определено.

Часто при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью определения функции f(x) является область определения выражения f(x). Например, если функция задана формулой у = 2х-3, то ее областью определения считают множество R действительных чисел. Если функция задана формулой у = , то её область определения - есть множество R действительных чисел, исключая число 2 (если х = 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).

Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости. Пусть у = f(x) - функция с областью определения X. Тогда ее графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f(x) для всех х из множества X.

Так, графиком функции у = 2х-3, заданной на множестве R, является прямая (рис. 1), а графиком функции у = х 2 , заданной также на множестве R, - парабола (рис. 2).

Рис.1 Рис.2

Функции можно задавать при помощи графика. Например, графики, приведенные на рисунке 3, задают функции, одна из которых имеет в качестве области определения промежуток [-2, 3], а вторая - конечное множество {-2, -1,0, 1, 2, 3}.

Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции. Так как при каждом значении аргумента из области определения функция должна иметь лишь одно значение, то любая прямая, параллельная оси ординат, или совсем не пересекает график функции, или пересекает его лишь в одной точке. Если же это условие не выполняется, то множество точек координатной плоскости график функции не задает. Например, кривая на рисунке 4 не является графиком функции - прямая АВ, параллельная оси ординат, пересекает ее в двух точках. Функции можно задавать при помощи таблицы.

Например, таблица, приведенная ниже, описывает зависимость температуры воздуха от времени суток. Эта зависимость - функция, так как каждому значению времени t соответствует единственное значение температуры воздуха р?;

Числовые функции обладают многими свойствами. Мы рассмотрим одно из них - свойство монотонности, так как понимание этого свойства учителем важно при обучении математике младших школьников.

Определение. Функция f называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

Определение. Функция f называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел x 1, x 2 из множества А выполняется условие:

х 1 <х 2 f(x 1)